Seja x uma variável quantitativa e x1 , x2 , ..., xn os valores assumidos por x. Define-se a média aritmética de x – indicada por x – como a divisão da soma de todos esses valores pelo número de valores, isto é:
Exemplos:
1º) Um aluno, preparando-se para o exame vestibular, fez 12 simulados no cursinho ao longo do ano. Em cada simulado, o número de questões era oitenta. Os valores seguintes correspondem às pontuações obtidas nesses exames: 56 – 52 – 61 – 53 – 48 – 68 49 – 59 – 61 – 62 – 60 – 55
Qual é a média aritmética desses valores?
Temos:
Caso o aluno apresentasse a mesma pontuação (desempenho) em todos os simulados, essa pontuação deveria ser 57 pontos a fim de que fosse obtida a pontuação total de 684 pontos, equivalente à soma dos pontos obtidos efetivamente nas 12 provas.
Observe que em nenhum simulado ocorreu a pontuação média, que é 57 pontos. Isso sugere que, ao calcularmos a média aritmética de um conjunto de valores, podemos obter um resultado que não coincide com nenhum dos valores que a variável assume.
2º) A média aritmética de um conjunto formado por 10 elementos é igual a 8. Acrescentando-se a esse conjunto o número 41, qual será a nova média?
Sejam x1 , x2 , ..., x10 os elementos desse conjunto.
Temos:
Ao acrescentarmos o número 41 ao conjunto, a soma de todos os seus elementos será 80 + 41 = 121 e a nova média (x') será dada por:
Propriedades:
Vamos estudar agora duas propriedades da média aritmética.
Sejam x1 , x2 ,..., xn os valores assumidos por uma variável x e x̅ a média aritmética correspondente.
Se a cada xi (i = 1, 2, ..., n) adicionarmos uma constante real c, a média aritmética fica adicionada de c unidades.
Essa propriedade pode ser facilmente demonstrada.
Se multiplicarmos cada xi (i = 1, 2, ..., n) por uma constante real c, a média aritmética fica multiplicada por c.
Média aritmética ponderada
Seja x uma variável quantitativa que assume os valores x1 , x2 , ..., xk com frequências absolutas respectivamente iguais a n1 , n2 , ..., nk . A média aritmética ponderada de x – indicada por x – é definida como a divisão da soma de todos os produtos xi · ni (i = 1, 2, ..., k) pela soma das frequências, isto é:
Exemplos:
1º) Um feirante possuía 50 kg de maçã para vender em uma manhã. Começou a vender as frutas por R$ 2,50 o quilo e, com o passar das horas, reduziu o preço em duas ocasiões para não haver sobras. A tabela seguinte informa a quantidade de maçãs vendidas em cada período, bem como os diferentes preços cobrados pelo feirante.
Naquela manhã, por quanto foi vendido, em média, o quilo da maçã? Sendo p o preço médio do quilo da maçã, temos:
isto é:
Ou seja, 2,26 reais é o preço médio do quilo de maçãs vendido.
Dizemos que se trata de uma média aritmética ponderada dos preços, em que o “fator de ponderação” (que também pode ser chamado de “peso”) corresponde à quantidade de maçãs vendidas (frequência absoluta) em cada período.
2º) A fim de arrecadar recursos para a festa de formatura, cada formando recebeu uma rifa com 20 números para vendê-los a seus conhecidos. Encerrado o prazo combinado, foi feito o levantamento de quantos números cada um vendeu e constatou-se que 10% dos formandos venderam 10 números, 30% venderam 15 números e os demais conseguiram vender todos os números. Qual foi a média de números da rifa que cada formando vendeu?
A variável (x) em questão é a quantidade de números vendidos. Os valores assumidos por x são 10, 15 e 20, com frequências relativas iguais a 0,10, 0,30 e 0,60, respectivamente. Segue que a média (x) é:
Isso significa que, em média, os formandos venderam 17,5 números da rifa.
