Conjuntos
Noções básicas:
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, de dados, de números, de informações.
Os componentes de um conjunto são chamados elementos.
Costumamos representar um conjunto por:
1. EXTENSÃO - nomeando os elementos um a um, separados por vírgula, dentro de chaves e identificando o conjunto por uma letra maiúscula. Exemplo:
A = { 0, 2, 4, 6}
Esta forma pode ser usada mesmo se o número de elementos for muito grande.
Exemplos:
- Conjunto infinito: B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
- Conjunto finito: C = {0, 2, 4, 6, 8, ... 304}
2. DIAGRAMA DE VENN: é uma representação gráfica de um conjunto, onde uma linha fechada é desenhada e os elementos do conjunto são inseridos em seu interior.
Exemplo:
3. COMPREENSÃO: quando se representa por uma característica do conjunto.
Exemplo:
- A = { x | x é um número par menor que 7}
- B = {x | x é um número positivo múltiplo de 5}
A representação do número de elementos de um conjunto é indicada por
n(A) = 4
(lê-se o número de elementos de A é igual a 4)
Exercícios sobre Conjuntos
1. Represente os conjuntos abaixo, por extensão e compreensão:
a) A é o conjunto dos números inteiros positivos menor que 100;
b) B é o conjunto dos números inteiros negativos maior que – 3;
c) C é o conjunto dos números ímpares;
d) D é o conjunto dos números primos;
e) E é o conjunto de cores da bandeira do Brasil;
2. Qual o número de elementos de cada conjunto do exercício anterior?
3. Dado o diagrama abaixo determine o número de elementos:
Conjuntos Iguais:
Há uma igualdade entre dois ou mais conjuntos quando eles tem os mesmos elementos.
Se os conjuntos A e B são iguais, dizemos A = B. E a negação da igualdade é dada por A ≠ B.
Exemplo:
A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {x | x é um número natural par menor que 9} e C = {0, 2, 4, 6}
Nesse caso, A = B e A ≠ C
Para indicar que um elemento pertence a determinado conjunto usamos o símbolo ∈ (pertence) e, para indicar que não pertence, o símbolo é ∉.
Exemplo:
A = {0, 2, 4, 6, 8}
2 ∈ A
3 ∉ A
∈ ⇨ pertence
∉ ⇨ não pertence
Conjunto Universo:
Quando se faz referência de conjuntos em relação a um conjunto maior, este é chamado conjunto universo, simbolizado normalmente por U.
Por exemplo:
a) Quando estudamos um fato, como por exemplo, idade superior a 15 anos, relacionado aos estudantes da escola, o conjunto universo será constituído por todos os alunos da escola.
U = { Alunos da Escola Raul Pilla}
A = {x | x tem 15 anos} ou A = {x ∈ U | x tem 15 anos}
b) Quando o fato está relacionado apenas aos alunos de uma das turmas da escola, o conjunto universo será constituído por todos os alunos dessa turma.
U = { Alunos da turma 110 da Escola Raul Pilla}
B ={x | x tem 15 anos} ou B = {x ∈ U | x tem 15 anos}
Observe que os conjuntos A e B são diferentes, ou seja, A ≠ B porque o conjunto universo a que se referem são diferentes.
Conjunto Unitário:
Quando o conjunto possui apenas um único elemento.
Por exemplo:
C = { x | x é um número primo par e positivo}
C = {2} (conjunto unitário)
Conjunto Vazio:
Quando o conjunto não possui nenhum elemento.
Por exemplo:
D = {x | x é um número primo menor que 2}
C = { } ou C = ∅
{ } ⇨ conjunto vazio
∅ ⇨ conjunto vazio
OBSERVAÇÂO: Nunca use C = {∅} por que esse não é um conjunto vazio e sim um conjunto que
contem um conjunto vazio. Logo, não é vazio!
Subconjuntos:
Observe os conjuntos A e B e também o diagrama ao lado
A = { 1, 2, 3, 4, 5}
B = { 1, 2, 5}
Todos os elementos de B estão dentro do conjunto A embora este tenha mais 2 elementos.
Então, dizemos que B está contido em A ou B é um subconjunto de A.
Indicamos por B ⊂ A
OBS: Podemos dizer também que A ⊃ B (A contém B)
⊂ ⇨ está contido
⊃ ⇨ contém
Quando existir pelo menos um elemento de B que não está contido em A, dizemos que A não contém A ou que B não está contido em A.
Por exemplo, os conjuntos A e B abaixo.
A = { 1, 2, 3, 4, 5}
B = { 1, 2, 6}
A ⊄ B ⇨ A não está contido em B
B ⊅ A ⇨ B não contém A
Exercícios sobre Conjuntos
1 - Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário, considerando como conjunto universo o conjunto dos números naturais, ou seja, x ∈ N.
a) A = { x | x é menor do que 1}
b) B = { x | x é maior que 5 e menor que 6}
c) C = { x | x é um número primo maior que 11 e menor que 20}
d) D = { x | x é um número par maior que 30 e menor que 32}
e) E = { x | x + 3 = 8}
f) F = { x | 5x = 30
g) G = { x | x < 1}
h) H = { x | x <0}
2 - Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = { 1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em V ou F cada informação a seguir:
a) A ⊂ B
b) C ⊂ D
c) A ⊂ D
d) B ⊄ C
e) D ⊃ A
f) B ⊃ A
g) C ⊃ A
h) A ∈ B
i) A ∉ D
j) ∅ ⊂ A
k) 2 ∈ D
l) 1 ⊂ D
Operações com conjuntos
União de Conjuntos ⇨ U
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto C formado por todos os elementos que pertencem a A ou pertencem a B.
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Por exemplo:
Se, A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8} então,
A U B = C = {0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 8}
U ⇨ União
Intersecção de Conjuntos
A intersecção de dois conjuntos A e B é um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A e pertencem a B, ou seja, somente aqueles elementos que pertencem a A e também a B.
A ∩ B ={x | x ∈ A e x ∈ B}
Se, A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8} então,
A ∩ B = C = {0, 2, 4}
∩ ⇨ interseção
Diferença de Conjuntos
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
Se, A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8}
então, A - B = C = {1, 3, 5}
OBSERVE que se B ⊂ A, a diferença A – B é chamada complementar de B em relação a A e indicamos por
Por exemplo,
Se, A = { 0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3}
então
NOTE que o complementar de B em relação a A é o que falta ao conjunto B para ficar igual ao conjunto A.
Exercícios sobre Conjuntos
1. Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g} , B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, m, n} determine:
a) A U B
b) A ∩ C
c) A – B
d) (A – B) U (B – A)
e) B – F
f) B ∩ C
g) B U C
h) A U C
2. Dados os conjuntos A = { 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 5, 6, 9} e C = {0, 3, 6, 9, 10) determine:
a) A U B
b) A ∩ B
c) A U C
d) A ∩ C
e) B ∩ C
f) (A ∩ B) U C
g) (A ∩ C) U B
h) (A ∩ B) ∩ C
i) (A U B) ∩ C
j) (A U C) ∩ B
k) A U (B ∩ C)
3. Considere o diagrama e determine:
b) A ∩ C
c) B ∩ C
d) A ∩ B ∩ C
e) A U B
f) B U C
g) A U C
4. Uma escola de línguas tem 630 pessoas, 350 deles estudam Inglês, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas matérias (Inglês e Espanhol). Pergunta-se:
a) Quantas pessoas estudam apenas Inglês?
b) Quantas pessoas estudam apenas Espanhol?
c) Quantas pessoas estudam apenas Inglês e Espanhol?
d) Quantas pessoas não estudam nenhuma das duas línguas?
5. Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e vôlei, 8 de basquete e de vôlei; e 5 gostam das três modalidades.
a) Quantas pessoas gostam somente de futebol?
b) Quantas pessoas gostam somente de basquete?
c) Quantas pessoas gostam somente de vôlei?
d) Quantas pessoas gostam somente de futebol e de basquete?
e) Quantas pessoas gostam somente de futebol e de vôlei?
f) Quantas pessoas não gostam nem de basquete nem de vôlei?
g) Quantas pessoas gostam somente de futebol ou somente de basquete?
h) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?
