Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo.
Sua superfície total é a reunião de seis paralelogramos.
• Paralelepípedo reto: é um paralelepípedo cuja superfície total é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases).
•Paralelepípedo retângulo ou retorretângulo: é um paralelepípedo cuja superfície total é a reunião
de seis retângulos.
• Cubo: é um paralelepípedo cuja superfície total é a reunião de seis quadrados. Note que o cubo é um paralelepípedo retângulo em que todas as arestas são congruentes.
Paralelepípedo retângulo
Cálculo da área total
A figura 1 representa um paralelepípedo retângulo, em que a e b são as
medidas dos lados do retângulo da base, e c, a medida da altura. A figura 2
representa a planificação da superfície desse paralelepípedo.
Essa planificação mostra que a superfície do paralelepípedo é a reunião de seis retângulos, congruentes dois a dois. Assim, a sua área total At é igual à soma das áreas desses seis retângulos, ou seja:
No paralelepípedo da figura a seguir, sejam d a medida da diagonal do paralelepípedo e d1 a medida da diagonal da base.
Cálculo do volume
Cubo
Áreas do cilindro circular reto
Área da base (Ab)
A área da base é a área de um círculo de raio de medida r.
Área lateral (Al)
Dá-se o nome de área lateral à área de um retângulo de base 2pr (comprimento da circunferência da base) e altura h, em que r é a medida do raio
da base do cilindro e h a medida da altura do cilindro.
Isso pode ser visualizado se planificarmos a superfície lateral do cilindro
Assim, Al = área de um retângulo
Área total (At)
A área total de um cilindro é a soma da área da superfície lateral com a
área dos círculos das bases.
Volume (V) do cilindro
Consideremos um cilindro
de altura de medida h e área
da base Ab
. Consideremos
também um prisma de altura
de medida h e área da base
Ab
. Note que o cilindro e o
prisma têm alturas iguais e
bases equivalentes.
Suponhamos que os dois sólidos tenham as bases contidas em um mesmo
plano α e fiquem no mesmo semiespaço de origem α. Qualquer plano b paralelo a a que secione o cilindro também seciona o prisma, e as seções B1
e B2
têm áreas iguais a Ab
, pois são congruentes às respectivas bases. Então, pelo
princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais.
Como Vprisma = Ab x h, então o volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela medida da altura:
Cone
Elementos e classificação de um cone
• O ponto V é o vértice do cone.
• O círculo de centro O e raio de medida r é a base do cone.
• Cada segmento com uma extremidade em V e a outra num ponto
da circunferência da base é uma geratriz do cone.
• A distância do vértice ao plano da base é a altura do cone.
Áreas do cone circular reto
Área da base (Ab)
A base do cone é um círculo de raio de medida r, então a área da base é
Área lateral (Al )
Área lateral é a área de um setor circular cujo raio mede g (medida da
geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é 2pr (perímetro da base).
A área lateral pode ser visualizada se planificarmos a superfície lateral do
cone. Veja:
A área do setor circular de raio de medida g e comprimento de arco 2pr, isto é, a área lateral A& , pode ser obtida por uma regra de três:
Área total (At)
A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. Assim, a área
total do cone é dada por:
Volume (V) do cone
Consideremos um cone de altura de medida h e base circular com área B. Consideremos também um
tetraedro cuja altura mede h e base com área B. Note que o cone e o tetraedro têm alturas congruentes e
bases equivalentes.
Suponhamos que os dois sólidos tenham as bases contidas em um mesmo plano a e que seus vértices estejam no mesmo semiespaço de origem a. Qualquer plano b paralelo a a que secione o cone a uma distância h' do vértice também seciona o tetraedro à mesma distância h' do vértice.
A seção do cone pelo plano b é um círculo de área B1
. Como os dois cones
obtidos são semelhantes, temos:
De 1 e 2 , resulta:
Esfera
Elementos de uma esfera
Observando a figura ao lado, vamos caracterizar os elementos de uma
esfera de centro O, raio r e eixo de rotação e.
• Polos: os polos P1 e P2 correspondem aos pontos de interseção da
superfície esférica com o eixo e.
• Equador: é a circunferência do círculo (seção) obtido ao se intersectar
a esfera por um plano perpendicular ao eixo e, pelo centro da esfera.
O círculo associado ao equador (círculo máximo da esfera) divide a esfera
em duas “partes” iguais, conhecidas como hemisférios ou semiesferas.
As duas metades de uma laranja, como na foto ao lado, remetem à ideia de hemisférios.
• Paralelo: é a circunferência do círculo obtido ao se intersectar a esfera por um plano perpendicular
ao eixo e.
O plano que contém um paralelo é paralelo ao plano que contém o equador.
• Meridiano: é a circunferência do círculo obtido ao se intersectar a esfera por um plano que contém
o seu eixo.
Volume da esfera
O volume V de uma esfera de raio r é dado por:
Área da superfície esférica
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Geometria Espacial
