Razões trigonométricas nos Triângulos Retângulos

A figura abaixo mostra o esquema de uma represa. A ponte, representada pelo segmento AB, pode ser medida com auxílio de uma trena.

m(AB) = 164 m

Já o ângulo BAB pode ser medido diretamente com o auxílio de um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e verticais): m(BAC) = 75°.

Existem, contudo, muitas situações em que não é possível medir diretamente um ângulo ou a distância entre dois pontos, como por exemplo na figura acima, quando se deseja obter a distância entre os pontos A, localizado em um extremo da ponte, e C, localizado na margem oposta da represa. Procurando resolver problemas dessa natureza, os matemáticos estabeleceram importantes relações entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. A área da Matemática que estuda essas relações é chamada de Trigonometria.

A palavra "trigonometria", de origem grega, significa “medida de triângulos”. Embora não tenhamos informações precisas sobre a origem dos estudos trigonométricos, há registros de sua aplicação por babilônios e antigos egípcios, especialmente na Agrimensura e na Astronomia. 

Sabe-se que a Trigonometria era usada, por exemplo, para determinar distâncias que não podiam ser medidas com instrumentos, como a distância entre os planetas. Para tais cálculos, eram aplicadas relações entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo.

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente

Seno de um ângulo agudo

Considere a figura ao lado.

Os triângulos retângulos OAB, OCD e OEF são semelhantes pelo caso AA, pois têm em comum o ângulo de medida a (também chamado de ângulo a) e um ângulo reto.

Como os triângulos OAB e OCD são semelhantes e os lados correspondentes são proporcionais, podemos escrever:

Os triângulos OAB e OEF são semelhantes, portanto os lados correspondentes são proporcionais:

 Observe as duas proporções que destacamos acima:

Da propriedade fundamental das proporções, podemos escrever:

Assim, temos:

Há infinitos outros triângulos retângulos que têm como ângulo interno o ângulo a e que, por isso, também são semelhantes aos triângulos OAB, OCD e OEF. 

Para todos esses triângulos retângulos, a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a medida da hipotenusa é constante. A essa razão constante chamamos seno do ângulo α e a indicamos por sen α.

Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Considerando qualquer um desses triângulos, temos:

Acompanhe um exemplo.

No triângulo MNP, vamos calcular o seno do ângulo interno P, que mede 25°.

Cosseno e tangente de um ângulo agudo

Considere novamente os triângulos retângulos OAB, OCD e OEF. Como já vimos, os triângulos OAB, OCD e OEF são semelhantes. De modo análogo ao que fizemos para a razão seno, dessa semelhança obtemos:

A essa razão constante chamamos de cosseno do ângulo α e a indicamos por cos α.

Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Para qualquer um desses triângulos, temos:

 A essa razão constante chamamos de tangente do ângulo α e a indicamos por tg α.

Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Considerando qualquer dos triângulos da figura anterior, temos:

Exemplo

Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está a 30° acima do horizonte?

Tg B = AC / AB = 5/s

Uma vez que B = 30° temos que a:

Tg B = 30° = √3/3 = 0,577

Logo,

0,577 = 5/s
s = 5/0,577
s = 8,67

Portanto, o tamanho da sombra é de 8,67 metros.

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