Temas abordados
- O Círculo como Limite de Regiões Poligonais Regulares
- Perímetro do Círculo e Circunferência
- Relações Associadas ao Perímetro
- Área do Círculo
- Arcos
- Setor Circular
- Segmento Circular
- Curiosidades sobre o Número Pi
1. O Círculo como Limite de Regiões Poligonais Regulares
Nas figuras a seguir, existem três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.
Conforme o número de lados do polígono inscrito aumenta, os seguintes também aumentam:
- O apótema, aproximando-se do raio do círculo como um limite.
- O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.
- A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.
Aqui, não apresentaremos uma definição precisa de limite, e sem ela, não podemos construir uma expressão matemática para calcular o perímetro ou a área de uma região poligonal regular inscrita em um círculo.
O conceito de limite permite que aproximemos o perímetro da circunferência com o perímetro do polígono regular inscrito à medida que o número de lados do polígono aumenta. O mesmo se aplica ao cálculo da área do círculo. À medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Isso também envolve limites.
2. Perímetro do Círculo e Circunferência
O perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência de perímetros de polígonos regulares inscritos com n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.
A área do círculo é o valor limite da sequência de áreas de regiões poligonais regulares inscritas no círculo à medida que o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.
3. Relações Associadas ao Perímetro
Com base nessas definições, temos um resultado importante sobre a relação entre o perímetro da circunferência e o diâmetro do círculo: A razão entre o perímetro da circunferência e o diâmetro é uma constante.
Para duas circunferências com diâmetros D1 e D2 e perímetros P1 e P2, respectivamente, a razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, o mesmo se aplica à razão entre os raios r1 e r2.
A1A2 = D1D2 = r1r2
Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denotada pela letra grega π, que é um número irracional (não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para π com 10 casas decimais é:
π = 3,1415926536...
4. Área do Círculo
A área de um círculo com raio r, denotada como A, é o valor limite das áreas de regiões poligonais regulares inscritas nele. Nesse caso, o diâmetro mede D = 2r. As fórmulas para a área do círculo são:
A = πr² = 1/4πD²
Proporção com áreas: Para dois círculos com raios r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2, a razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados dos seus raios ou os quadrados dos seus diâmetros.
A1A2 = D1²D2² = r1²r2²
5. Arcos
O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imagine o arco AB contendo vários pontos A = P0, P1, P2, P3, ..., Pn−1, Pn = B, formando n pequenos arcos e n pequenos segmentos de linha com medidas respectivas iguais a AP1, P1P2, ..., Pn−1B.
A ideia aqui é escolher um número n suficientemente grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.
O comprimento de um arco AB de um círculo com raio r é o valor limite da soma dos comprimentos desses n cordas à medida que n cresce indefinidamente.
Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo de 360 graus, que equivale a 2π radianos. Se o raio da circunferência é r, o perímetro da circunferência Pc é igual à medida do arco da mesma circunferência, dado por:
Pc = 2πr
Comprimento do arco: Para um arco AB em uma circunferência com raio r e uma medida m do ângulo correspondente, em graus ou radianos.
A medida de um arco AB, denotada como m(AB), pode ser obtida (em radianos) por:
m(AB) = πr * m / 180 graus = r * m
Essas fórmulas podem ser justificadas por relações proporcionais diretas e simples.
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:
360 graus / m graus = 2πr / m(AB)
Portanto,
m(AB) = m * r * π / 180
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:
2πm / m(AB)
Assim,
m(AB) = r * m radianos
6. Setor Circular
Um setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.
Usando a figura anterior, podemos extrair algumas informações:
- OACB é um setor circular.
- OADB é um setor circular.
- r é o raio de cada um dos setores.
- ACB é o arco do setor OACB.
- ADB é o arco do setor OADB.
Tomando a medida do arco ACB como m (em graus ou radianos), a área A(OACB) do setor circular OACB é obtida por:
A(OACB) = πr² * m / 360 = 1/2 * m * r²
Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, e A(circ) é a medida da área do círculo, obtemos:
360m / A(circ) = A(OACB)
Portanto,
A(OACB) = πr² * m / 360
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:
2πm / A(circ) = A(OACB)
Assim,
A(OACB) = 1/2 * m * r² radianos
7. Segmento Circular
Um segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura seguinte, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.
A área do segmento circular ACB, denotada como A(ACB), pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB, denotada como A(AOB), da área do setor OACB, denotada como A(OACB), ou seja,
A(ACB) = A(OACB) - A(AOB)
A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.
8. Curiosidades sobre o Número Pi
Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a seguinte passagem: "Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência." Isso sugere que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.
Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão π entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71, ou seja,
3+1070 < π < 3+1071
O símbolo π usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência só foi introduzido no século XVIII.
O valor correto de π com 10 casas decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do equador terrestre.
Uma vez conhecida a unidade de comprimento, é impossível construir um segmento com um comprimento de π usando régua e compasso.
O número π desempenha um papel muito importante na matemática e nas ciências, especialmente quando se determinam perimetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.
Com o uso de computadores, o valor exato de π já foi calculado com mais de cem mil casas decimais.
Detalhes sobre o cálculo de π: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos, também podemos aproximar o perímetro P e a área A do círculo de raio r pelo valor limite dos perímetros Pc dos polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.
P < 2r < π < Pc
Essas relações estão na tabela a seguir com dados sobre o polígono regular dado.
Notação usada na tabela:
- NLP é o Número de Lados do Polígono.
- PPI2r é o Perímetro do Polígono Inscrito dividido por 2r.
- PPC2r é o Perímetro do Polígono Circunscrito dividido por 2r.
NLP PPI2r PPC2r 6 3,00000 3,46411 12 3,10582 3,21540 24 3,13262 3,15967 48 3,13935 3,14609 96 3.14103 3.14272 192 3.14145 3.14188 256 3.14151 3.14175 512 3.14157 3.14163 1024 3.14159 3.14160 Observa-se na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono, mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número π, tanto para os polígonos inscritos quanto para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 dígitos exatos.
Outro modo (bastante lento) de obter o número π é realizar a soma:
π = 4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ⋯)
A forma mais rápida conhecida (até a atualização desta página) para obter π é:
π = ∑n=0∞ (4(8n+1 - 8n+4 - 1/8n+5 - 1/8n+6)/16n)
que pode ser obtida usando o Algoritmo Milagroso de Bailey-Borwein-Plouffe para π.
