Área e Volume Geometria Espacial

Área e Volume de um Paralelepípedo:

Um paralelepípedo é uma figura tridimensional com seis faces retangulares, onde as faces opostas são paralelas e congruentes. Para calcular a área e o volume de um paralelepípedo, usamos fórmulas específicas.

1. Área de um Paralelepípedo:

A área total de um paralelepípedo é a soma das áreas de suas seis faces. A fórmula para calcular a área total (A) é dada por:

$�=2(��+��+��)$

onde $�$, $�$, e $�$ são as dimensões das arestas adjacentes.

2. Volume de um Paralelepípedo:

O volume de um paralelepípedo é o produto das três dimensões: comprimento ($�$), largura     ($�$), e altura ($�$). A fórmula para calcular o volume (V) é dada por:

$�=���$

Exercício:

Considere um paralelepípedo com as seguintes dimensões:

• Comprimento ($�$): 5 unidades
• Largura ($�$): 3 unidades
• Altura ($�$): 4 unidades

a) Calcule a Área Total:

=2(ab+bc+ac)

$�=2(5\times 3+3\times 4+4\times 5)$

$�=2(15+12+20)$

$�=2\times 47$

$�=94{\text{unidades}}^2$

Portanto, a área total do paralelepípedo é $94{\text{unidades}}^2$.

b) Calcule o Volume:

$�=���$

$�=5\times 3\times 4$

$�=60{\text{unidades}}^3$

Portanto, o volume do paralelepípedo é $60{\text{unidades}}^3$.

$�=2(��+��$

Área e Volume de um Cubo:

Um cubo é um tipo especial de paralelepípedo, no qual todas as arestas são congruentes e todos os ângulos são retos. Vamos explorar as fórmulas para calcular a área e o volume de um cubo.

1. Área de um Cubo:

A área total de um cubo é a soma das áreas de suas seis faces. Como todas as faces são quadrados, a fórmula para calcular a área total (A) é dada por:

$�=6{�}^2$

onde $�$ é o comprimento da aresta.

2. Volume de um Cubo:

O volume de um cubo é o cubo do comprimento da aresta. A fórmula para calcular o volume (V) é:

$�={�}^3$

onde $�$ é o comprimento da aresta.

Exercício:

Considere um cubo com uma aresta de comprimento $�=4$ unidades.

a) Calcule a Área Total:

$�=6{�}^2$

$�=6\times 4^2$

$�=6\times 16$

$�=96{\text{unidades}}^2$

Portanto, a área total do cubo é $96{\text{unidades}}^2$.

b) Calcule o Volume:

V=s3

$�=4^3$

$�=64{\text{unidades}}^3$

Portanto, o volume do cubo é $64{\text{unidades}}^3$.

Área e Volume de um Cilindro:

Um cilindro é uma figura tridimensional que consiste em duas bases circulares paralelas conectadas por uma superfície lateral que é perpendicular às bases. Vamos explorar as fórmulas para calcular a área e o volume de um cilindro.

1. Área de um Cilindro:

• Área da Superfície Lateral (${�}_{\text{sl}})$: A área da superfície lateral de um cilindro é dada por ${�}_{\text{sl}}=2��ℎ$, onde $�$ é o raio da base e $ℎ$ é a altura do cilindro.

• Área Total (${�}_{\text{total}})$: A área total de um cilindro é a soma da área da superfície lateral e de duas vezes a área da base. Portanto, ${�}_{\text{total}}=2��ℎ+2�{�}^2$.

2. Volume de um Cilindro:

• Volume ($�)$: O volume de um cilindro é dado pela fórmula $�=�{�}^2ℎ$, onde $�$ é o raio da base e $ℎ$ é a altura do cilindro.

Exercício:

Considere um cilindro com as seguintes dimensões:

• Raio da base ($�$): 3 unidades
• Altura ($ℎ$): 8 unidades

a) Calcule a Área Total:

Atotal​=2πrh+2πr2

${�}_{\text{total}}=2\times �\times 3\times 8+2\times �\times 3^2$

${�}_{\text{total}}=48�+18�$

${�}_{\text{total}}=66�{\text{unidades}}^2$

b) Calcule o Volume:

$�=�{�}^2ℎ$

$�=�\times 3^2\times 8$

$�=72�{\text{unidades}}^3$

Portanto, a área total do cilindro é $66�{\text{unidades}}^2$ e o volume é $72�{\text{unidades}}^3$.

Área e Volume de um Cilindro:

Um cilindro é uma figura geométrica tridimensional que possui duas bases circulares paralelas e uma superfície lateral que é uma curva envolvendo as bases. Vamos explorar as fórmulas para calcular a área e o volume de um cilindro.

1. Área de um Cilindro:

• Área da Superfície Lateral (${�}_{\text{sl}})$: A área da superfície lateral de um cilindro é dada por ${�}_{\text{sl}}=2��ℎ$, onde $�$ é o raio da base e $ℎ$ é a altura do cilindro.

• Área Total (${�}_{\text{total}})$: A área total de um cilindro é a soma da área da superfície lateral e de duas vezes a área da base. Portanto, ${�}_{\text{total}}=2��ℎ+2�{�}^2$.

Área e Volume de um Cone:

Um cone é uma figura geométrica tridimensional que possui uma base circular e uma única superfície lateral que converge para um ponto chamado vértice. Vamos explorar as fórmulas para calcular a área e o volume de um cone.

1. Área de um Cone:

• Área da Superfície Lateral (${�}_{\text{sl}})$:

• A área da superfície lateral de um cone é dada por ${�}_{\text{sl}}=��\mathrm{\ell }$, onde $�$ é o raio da base e $\mathrm{\ell }$ é a altura lateral do cone.

• Área Total (${�}_{\text{total}})$: A área total de um cone é a soma da área da superfície lateral e da área da base. Portanto, ${�}_{\text{total}}=��\mathrm{\ell }+�{�}^2$.

2. Volume de um Cone:

• Volume ($�)$: O volume de um cone é dado pela fórmula $�=\frac{1}{3}�{�}^2ℎ$, onde $�$ é o raio da base e $ℎ$ é a altura do cone.

Exercício:

Considere um cone com as seguintes dimensões:

• Raio da base ($�$): 6 unidades
• Altura ($ℎ$): 8 unidades

a) Calcule a Área Total:

${�}_{\text{total}}=��\mathrm{\ell }+�{�}^2$

${�}_{\text{total}}=�\times 6\times 10+�\times 6^2$

${�}_{\text{total}}=60�+36�$

${�}_{\text{total}}=96�{\text{unidades}}^2$

b) Calcule o Volume:

$�=\frac{1}{3}�{�}^2ℎ$

$�=\frac{1}{3}�\times 6^2\times 8$

$�=\frac{1}{3}\times 288�$

$�=96�{\text{unidades}}^3$

Portanto, a área total do cone é $96�{\text{unidades}}^2$ e o volume é $96�{\text{unidades}}^3$.

Área e Volume de uma Esfera:

Uma esfera é uma figura tridimensional completamente redonda e simétrica, onde todos os pontos da superfície estão a uma distância igual do centro. Vamos explorar as fórmulas para calcular a área e o volume de uma esfera.

1. Área de uma Esfera:

• Área da Superfície (${�}_{\text{superf}\acute{\text{ı}}\text{cie}})$: A área da superfície de uma esfera é dada por ${�}_{\text{superf}\acute{\text{ı}}\text{cie}}=4�{�}^2$, onde $�$ é o raio da esfera.

2. Volume de uma Esfera:

• Volume ($�)$: O volume de uma esfera é dado pela fórmula $�=\frac{4}{3}�{�}^3$, onde $�$ é o raio da esfera.

Exercício:

Considere uma esfera com raio ($�$) de 5 unidades.

a) Calcule a Área da Superfície:

${�}_{\text{superf}\acute{\text{ı}}\text{cie}}=4�{�}^2$

${�}_{\text{superf}\acute{\text{ı}}\text{cie}}=4�\times 5^2$

${�}_{\text{superf}\acute{\text{ı}}\text{cie}}=4�\times 25$

${�}_{\text{superf}\acute{\text{ı}}\text{cie}}=100�{\text{unidades}}^2$

b) Calcule o Volume:

$�=\frac{4}{3}�{�}^3$

$�=\frac{4}{3}�\times 5^3$

$�=\frac{4}{3}�\times 125$

$�=\frac{500}{3}�{\text{unidades}}^3$

Portanto, a área da superfície da esfera é $100�{\text{unidades}}^2$ e o volume é $\frac{500}{3}�{\text{unidades}}^3$.